Question

【題目】已知函數f（x）滿足f（x+1）= ，且f（x）是偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=x，若在區(qū)間[﹣1，3]內，函數g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4個零點，則實數k的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由于f（x+2）=f（x）．∴f（x）是周期為2的函數， x在[0，1]，f（x）=x 由于f（x）是偶函數，x在[﹣1，0]，f（x）=﹣x
f（x）是周期為2的函數 f（2）=f（0）=0 函數解析式：y=﹣x+2 x在[2，3]時，
函數解析式：y=x﹣2 g（x）仍為一次函數，有4個零點，
故在四段內各有一個零點．
x在[﹣1，0），g（x）=﹣x﹣kx﹣k=﹣（k+1）x﹣k 令g（x）=0，∴x=﹣
∴﹣1≤﹣ ＜0，解得k＞0
x在（0，1]，g（x）=x﹣kx﹣k=（1﹣k）x﹣k，令g（x）=0，∴x=
∴0＜ ≤1 解的0＜k≤
x在（1，2]，g（x）=﹣x+2﹣kx﹣k=﹣（k+1）x+2﹣k，令g（x）=0，∴x=
∴1＜ ≤2，解的0≤k＜
x在（2，3]，g（x）=x﹣2﹣kx﹣k=（1﹣k）x﹣2﹣k，令g（x）=0，∴x=
∴2＜ ≤3，解的0＜k≤
綜上可知，k的取值范圍為：0＜k≤
所以答案是：（0， ]．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇，以及對函數的零點與方程根的關系的理解，了解二次函數的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點．