Question

如圖，已知在側(cè)棱垂直于底面三棱柱ABC—A₁B₁C₁中AC=3，AB=5，cos∠CAB=,AA₁=4，點D是AB的中點.

(1)求證：AC₁//平面CDB₁；

(2)求B₁到平面A₁BC₁的距離.

Answer 1

答案：(1)證明：連結(jié)B₁C交BC₁于E，則E為BC₁的中點，連結(jié)DE，則在△ABC₁中，DE//AC₁.

又DE平面CDB₁，則AC₁//平面CDB₁.                                        

(2)解法一：在△ABC中由余弦定理得BC=4，

∴△ABC為∠C=90°的直角三角形.

又A₁A=4，∴B₁BCC₁為正方形.                                                

∴A₁C₁⊥B₁C.B₁C⊥平面A₁C₁B,

B₁到平面A₁C₁B的距離為B₁E.∴B₁E=22.                                       

解法二：在△ABC中由余弦定理得BC=4，

∴△ABC為∠C=90°的直角三角形.

故可建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系,則A₁(3，0，4)，B(0，4，0)，C₁(0，0，4)，B₁(0，4，4).

設(shè)n=(x,y,z)為平面A₁BC₁的法向量，則

即                                                   

可得n=(0,1,1),∴d==.