Question

已知函數(shù)f（x）=（c^x-a）²-2x，a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（II）證明：對(duì)任意，恒有成立；
（III）當(dāng)a=0時(shí)，設(shè)，證明：對(duì)ε∈（0，1），當(dāng)時(shí)，不等式總成立．

Answer 1

（I）解：f′（x）=2e^x（e^x-a）-2=2（e^2x-ae^x-1）
令f′（x）＞0，解得
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是
（II）證明：由（I）知，當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，h（x）=e^2x-2x是減函數(shù)；當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，h（x）=e^2x-2x是增函數(shù)；
∴h（x）≥h（0）
∴e^2x-2x≥1
∴e^2x≥2x+1
時(shí)，∴e^-2x≥-2x+1＞0
∴
∴對(duì)任意，恒有成立；
（III）證明：當(dāng)a=0時(shí)，得f（x）=e^2x-2x
∴
=
=
∵ε∈（0，1），∴當(dāng)時(shí)，
由（II）知，，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴當(dāng)時(shí)，
∴當(dāng)時(shí)，不等式總成立
分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0，解得f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（II）當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，h（x）=e^2x-2x是減函數(shù)；當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，h（x）=e^2x-2x是增函數(shù)，從而h（x）≥h（0），進(jìn)而可證對(duì)任意，恒有成立；
（III）當(dāng)a=0時(shí)，得f（x）=e^2x-2x，從而=，可證，根據(jù)當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，不等式總成立
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是充分利用函數(shù)的單調(diào)性，難度較大．