Question

已知函數(shù)在[0，3]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為________．

Answer 1

（0，）
分析：將原函數(shù)f（x）=log_a（3-ax²）看作是函數(shù)：y=log_aμ，μ=3-ax²的復合函數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性來研究即可．注意對數(shù)的真數(shù)必須大于0．
解答：設μ=3-ax²，
則原函數(shù)f（x）=log_a（3-ax²）是函數(shù)：y=log_aμ，μ=3-ax²的復合函數(shù)，
①當a＞1時，y=log_au在（0，+∞）上是增函數(shù)，
而函數(shù)μ=3-ax²在[0，3]上是減函數(shù)，
根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)f（x）在[0，3]上單調(diào)遞減，與題意不符；
②當0＜a＜1時，y=log_au在（0，+∞）上是減函數(shù)，
函數(shù)μ=3-ax²在[0，3]上是減函數(shù)，
根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)f（x）在[0，3]上單調(diào)遞增，
且μ=3-ax²＞0在[0，3]上恒成立，
所以有，解得0＜a＜．
綜①②，得實數(shù)a的取值范圍為（0，）．
故答案為：（0，）．
點評：本題考查復合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的單調(diào)性．是基礎題．熟練掌握基本初等函數(shù)的單調(diào)性及其單調(diào)區(qū)間，理解并掌握判斷復合函數(shù)單調(diào)性的方法：同增異減．