Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n=（n+1）a_n-1（n≥2，n∈N^*），則

an2+16

n+1

取得最小值的n的值為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：把題目給出的數(shù)列遞推式變形，得到

an

an-1

=

n+1

n

（n≥2，n∈N^*），由累積法求出數(shù)列的通項公式，代入

an2+16

n+1

后整理，利用基本不等式求最值．

解答： 解：由na_n=（n+1）a_n-1（n≥2，n∈N^*），
得：

an

an-1

=

n+1

n

（n≥2，n∈N^*），
又a₁=1，
∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

•a1
=

n+1

n

•

n

n-1

…

3

2

•1=

n+1

2

，
則

an2+16

n+1

=

( n+1 2 )2+16

n+1

=

n+1

4

+

16

n+1

≥2

n+1 4 • 16 n+1

=4．
當且僅當

n+1

4

=

16

n+1

，即n=7時上式等號成立．
故答案為：7．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查了累積法求數(shù)列的通項公式，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．