已知函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_ST/0.png)
的反函數(shù)為f
-1(x).設(shè)數(shù)列{a
n}滿足a
1=1,a
n+1=f
-1(a
n)(n∈N
*).
(1)求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(2)已知數(shù)列{b
n}滿足
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_ST/1.png)
,求證:對一切正整數(shù)n≥1都有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_ST/2.png)
…
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_ST/3.png)
.
【答案】
分析:(1)由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/0.png)
,知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/1.png)
,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/2.png)
.由此能求出數(shù)列{a
n}的通項公式.
(2)由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/3.png)
,知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/4.png)
,由此能夠證明對一切正整數(shù)n≥1都有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/5.png)
…
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/6.png)
.
解答:解:(1)由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/7.png)
⇒
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/8.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/9.png)
.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/10.png)
是以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/11.png)
為首項,1為公差的等差數(shù)列,
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/12.png)
.∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/13.png)
.
(2)由已知得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/14.png)
,顯然b
n∈(0,+∞).
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/15.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/16.png)
…
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/17.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/18.png)
…
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/19.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224826775938841/SYS201311012248267759388019_DA/20.png)
.
點評:本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
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(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足:
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的反函數(shù)為f
-1(x),數(shù)列{a
n}滿足:a
1=1,a
n+1=f
-1(a
n)(n∈N
*).
(Ⅰ)求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{b
n}滿足:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101221506916821272/SYS201311012215069168212019_ST/1.png)
成等比數(shù)列,數(shù)列{b
n}的前n項和為S
n,求S
n.
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的反函數(shù)為f
-1(x),若f
-1(x)>0,則x的取值范圍為
.
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的反函數(shù)為f
-1(x),則f
-1(4)=( )
A.-6
B.1
C.-1
D.-5
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