證明A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)、D(6,0)四點共圓,并求出此圓的圓心和半徑.

答案:
解析:

  證法一:設所共圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.將A、B、D三點坐標代入得

  

  故過A、B、D三點的圓的方程為x2+y2-8x-2y+12=0.

  把點C(3,-1)代入方程的左邊=9+1-24+2+12=0.

  ∴點C在該圓上.

  ∵=4,=1,

  ∴圓心為(4,1),r=

  綜上,可得四點共圓于其圓心為(4,1),半徑為,方程為x2+y2-8x-2y+12=0的圓.

  證法二:∵AB邊的中點為(),斜率為kAB

  ∴AB邊的垂直平分線的方程為y-=-3(x-),即3x+y-13=0.①

  ∵BC的中點為(4,1),kBC,

  ∴BC邊的垂直平分線的方程為y-1=-(x-4),即x+2y-6=0.②

  解①②組成的方程組得

  ∴圓心為(4,1),半徑r=.∴所求圓的方程為(x-4)2+(y-1)2=5.

  思路分析:首先由不共線三點確定一個圓,然后再證第四個點在圓上,用待定系數(shù)法求解.


提示:

圓的標準方程中有三個未知量a、b、r;圓的一般方程有三個未知量D、E、F.故確定一個圓需要三個獨立的條件,一般利用待定系數(shù)法確定.這需要把題目中的已知條件一一轉化為關于未知量的方程,利用方程組獲得a、b、r或D、E、F的值,進而確定圓的方程.其基本步驟為:(1)根據(jù)題意,設所求的圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2或設圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0;(2)根據(jù)已知條件,建立關于a、b、r或D、E、F的方程組;(3)解方程組,求出a、b、r或D、E、F的值,并把它們代入所設的方程中去,就得到所求圓的方程.不過有時利用圓的幾何性質,會有更簡捷的解題途徑.


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科目:高中數(shù)學 來源:成功之路·突破重點線·數(shù)學(學生用書) 題型:047

已知a>0,函數(shù)f(x)=ax-bx2

(1)當b>0時,若對任意x∈R都有f(x)≤1,證明a≤2

(2)當b>1時,證明:對任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要條件是b-1≤a≤2

(3)當0<b≤1時,討論:對任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要條件.

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已知a>0,函數(shù)fx)=ax-bx2.

(1)當b>0時,若對任意x∈R都有fx)≤1,證明a≤2;

(2)當b>1時,證明對任意x∈[0,1],|fx)|≤1的充要條件是b-1≤a≤2;

(3)當0<b≤1時,討論對任意x∈[0,1],|fx)|≤1的充要條件.

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(2)當b>1時,證明對任意x∈[0,1],|fx)|≤1的充要條件是b-1≤a≤2;

(3)當0<b≤1時,討論對任意x∈[0,1],|fx)|≤1的充要條件.

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(1)當b>0時,若對任意x∈R都有f(x)≤1,證明a≤2

(2)當b>1時,證明對任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要條件是b-1≤a≤2;?

(3)當0<b≤1時,討論:對任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要條件.?

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(2)當b>1時,證明對任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要條件是b-1≤a≤2.

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