已知函數(shù)f1(x)=
1
2
x2,f2(x)=alnx(其中a>0).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)=f1(x)•f2(x)的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=f1(x)-f2(x)+(a-1)x在區(qū)間(
1
e
,e)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),求正實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)求證:當(dāng)x>0時(shí),1nx+
3
4x2
-
1
ex
>0.(說明:e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)
解析(Ⅰ)f(x)=f1(x)•f2(x)=
1
2
x2alnx,
∴f′(x)=axlnx+
1
2
ax=
1
2
ax(2lnx+1),(x>0,a>0),
由f′(x)>0,得x>e
1
2
,由f′(x)<0,得0<x<e
1
2

∴函數(shù)f(x)在(0,e
1
2
)上是減函數(shù),在(e
1
2
,+∞)上是增函數(shù),
∴f(x)的極小值為f(e
1
2
)=-
a
4e
,無極大值.
(Ⅱ)函數(shù)g(x)=
1
2
x2-alnx+(a-1)x

則g′(x)=x-
a
x
+(a-1)=
x2+(a-1)x-a
x
=
(x+a)(x-1)
x
,
令g′(x)=0,∵a>0,解得x=1,或x=-a(舍去),
當(dāng)0<x<1時(shí),g′(x)<0,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
函數(shù)g(x)在區(qū)間(
1
e
,e)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),
只需
g(
1
e
)>0
g(1)<0
g(e)>0
,即
1
2e2
+
a-1
e
+a>0
1
2
+a-1<0
e2
2
+(a-1)e-a>0
,∴
a>
2e-1
2e2+2e
a<
1
2
a>
2e-e2
2e-2
,解得
2e-1
2e2+2e
<x<
1
2
,
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(
2e-1
2e2+2e
1
2
).
(Ⅲ)問題等價(jià)于x2lnx>
x2
ex
-
3
4
,
由(I)知,f(x)=x2lnx的最小值為-
1
2e
,
設(shè)h(x)=
x2
ex
-
3
4
,h′(x)=-
x(x-2)
ex
得,函數(shù)h(x)在(0,2)上增,在(2,+∞)減,
∴h(x)max=h(2)=
4
e2
-
3
4
,
因-
1
2e
-(
4
e2
-
3
4
)=
3e2-2e-16
4e2
=
(3e-8)(e+2)
4e2
>0,
∴f(x)min>h(x)max,
∴x2lnx>
x2
ex
-
3
4
,∴l(xiāng)nx-(
1
ex
-
3
4x2
)>0,
∴l(xiāng)nx+
3
4x2
-
1
ex
>0.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+ax2-bx
(a,b∈R),若y=f(x)圖象上的點(diǎn)(1,
11
3
)處的切線斜率為-4,求y=f(x)在區(qū)間[-3,6]上的最值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

函數(shù)f(x)=asinx+bcosx+c(a,b,c為常數(shù))的圖象過原點(diǎn),且對(duì)任意x∈R總有f(x)≤f(
π
3
)
成立;
(1)若f(x)的最大值等于1,求f(x)的解析式;
(2)試比較f(
b
a
)
f(
c
a
)
的大小關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
ax2+
9
2
(a>0)

(1)當(dāng)a=3時(shí),求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)求證:曲線y=f(x)總有斜率為a的切線;
(III)若存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值;
(Ⅲ)設(shè)g(x)=(1-a)x,若存在x0∈[
1
e
,e]
,使得f(x0)≥g(x0)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知f(x)=-
1
2
ax2+x-ln(1+x)
,其中a>0.
(1)若x=3是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),求a的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若f(x)在[0,+∞)上的最大值是0,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
(2a-1)x2+[a2-a-f′(a)]x+b,(a,b∈
R)
(1)求f′(a)的值;
(2)若對(duì)任意的a∈[0,1],函數(shù)f(x)在x∈[0,1]上的最小值恒大于1,求b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為(  )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

等于( )
A.B.C.D.

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