Question

已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在軸上，拋物線上的點到的距離為2，且的橫坐標為1．直線與拋物線交于，兩點.

（1）求拋物線的方程；

（2）當直線，的傾斜角之和為時，證明直線過定點.

 

Answer 1

（1）；（2）直線恒過定點，證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)拋物線方程為，由拋物線的定義及即可求得的值；（2）先設(shè)點，，然后將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去得，根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系表示出，設(shè)直線，的傾斜角分別為，斜率分別為，則，進而根據(jù)正切的兩角和公式可知，其中，，代入求得和的關(guān)系式，此時使有解的有無數(shù)組，把直線方程整理得，推斷出直線過定點.

試題解析：（1）設(shè)拋物線方程為

由拋物線的定義知，又 2分

所以，所以拋物線的方程為 4分

（2）設(shè)，

聯(lián)立，整理得（依題意）

， 6分

設(shè)直線，的傾斜角分別為，斜率分別為，則

8分

其中，，代入上式整理得

所以即 10分

直線的方程為，整理得

所以直線過定點 12分.

考點：1.拋物線的定義與方程；2.直線與拋物線的綜合問題；3.二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.