Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且na_n+1=2S_n，數(shù)列{b_n}滿足b₁=

1

2

，b₂=

1

4

，對任意n∈N^*．都有

b

2 n+1

=b_n•b_n+2．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）令T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求證：

1

2

≤T_n＜2．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用na_n+1=2S_n，再寫一式，兩式相減，再疊乘，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；在數(shù)列{b_n}中，由

b

2 n+1

=b_n•b_n+2，b₁=

1

2

，b₂=

1

4

，知數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項、公比均為

1

2

，由此可得數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法求數(shù)列的和，由此能證明

1

2

≤T_n＜2．

解答： 解：（1）∵na_n+1=2S_n，∴（n-1）a_n=2S_n-1（n≥2），
兩式相減得，na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，
∴na_n+1=（n+1）a_n=，即

an+1

an

=

n+1

n

，
∴a_n=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=n（n≥2），
a₁=1滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=n（n∈N^*）．
在數(shù)列{b_n}中，∵bn+1 2=b_n•b_n+2，b₁=

1

2

，b₂=

1

4

，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項、公比均為

1

2

，
∴數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=（

1

2

）ⁿ=

1

2n

．
（Ⅱ）∵T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=

1

2

+2×

1

22

+…+n×

1

2n

，①
∴

1

2

T_n=

1

22

+2×

1

23

+…+（n-1）×

1

2n

+n×

1

2n+1

，②
由①-②，得

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-n×

1

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n×

1

2n+1

=1-

n+2

2n+1

，
∴T_n=2-

n+2

2n

，
∴T1 =2-

1+2

2

=

1

2

，
∴

1

2

≤T_n＜2．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查錯位相減法求數(shù)列的和，考查恒成立問題，確定數(shù)列的通項，正確求和是關(guān)鍵．