Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左右焦點，已知點，滿足，設A、B是上半橢圓上滿足的兩點，其中．
（1）求此橢圓的方程；
（2）求直線AB的斜率的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由于，
∴，解得，
∴橢圓的方程是．

（2）∵，∴A，B，N三點共線，
而N（-2，0），設直線的方程為y=k（x+2），（k≠0），
由消去x得：
由，解得．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理得①，
又由得：（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂），∴y₁=λy₂②．
將②式代入①式得：，
消去y₂得：．
設，當時，?（λ）是減函數(shù)，
∴，∴，
解得，又由得，
∴直線AB的斜率的取值范圍是．
分析：（1）有題意及橢圓的方程和性質利用，可以列出 a，b，c的方程，解出即可；
（2）由題意先設直線的方程為y=k（x+2）（k≠0），把直線方程與橢圓方程進行聯(lián)立，利用韋達定理整體代換，借助于與，得到k，λ的關系式，用λ表示k，有λ的范圍再求出k的范圍．
點評：此題考查了橢圓的方程及橢圓的基本性質，直線方程與橢圓方程進行聯(lián)立設而不求及整體代換的思想，還考查了利用均值不等式求值域．