Question

【題目】已成橢圓C： =1（a＞b＞0）的左右頂點分別為A1、A2 ， 上下頂點分別為B2/B1 ， 左右焦點分別為F1、F2 ， 其中長軸長為4，且圓O：x2+y2= 為菱形A1B1A2B2的內切圓．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點N（n，0）為x軸正半軸上一點，過點N作橢圓C的切線l，記右焦點F2在l上的射影為H，若△F1HN的面積不小于 n2 ， 求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知2a=4，所以a=2，

所以A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），則

直線A2B2的方程為 ，即bx+2y﹣2b=0，

所以 = ，解得b2=3，

故橢圓C的方程為

（2）解：由題意，可設直線l的方程為x=my+n，m≠0，

聯(lián)立 ，消去x得（3m2+4）y2+6mny+3（n2﹣4）=0，（*）

由直線l與橢圓C相切，得△=（6mn）2﹣4×3×（3m2+4）（n2﹣4）=0，

化簡得3m2﹣n2+4=0，

設點H（mt+n，t），由（1）知F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），則 =﹣1，

解得：t=﹣ ，

所以△F1HN的面積 = （n+1）丨﹣ 丨= ，

代入3m2﹣n2+4=0，消去n化簡得 = 丨m丨，

所以 丨m丨≥ n2= （3m2+4），解得 ≤丨m丨≤2，即 ≤m2≤4，

從而 ≤ ≤4，又n＞0，

所以 ≤n≤4，

n的取值范圍為[ ，4]

【解析】（1）由題意求得a，直線A2B2的方程為 ，利用點到直線的距離公式，即可求得b的值，求得橢圓C的方程；（2）設直線方程，代入橢圓方程，由△=0，求得m和n的關系，利用三角形的面積公式，求得m的取值范圍，代入即可求得n的取值范圍．