Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量

AB

=(6，1)，

BC

=(x，y)，

CD

=(-2，-3)，且

AD

∥

BC

．
（1）求x與y之間的關(guān)系式；
（2）若

AC

⊥

BD

，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）由

AD

∥

BC

，結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示可得（x+4）y-（y-2）x=0，可求
（2）由

AC

⊥

BD

，可得

AC

•

BD

=0，結(jié)合（1）的關(guān)系式可求x，y，代入四邊形的面積公式可求

解答：解（1）由題意得

AD

=

AB

+

BC

+

CD

=(x+4，y-2)，

BC

=(x，y)，…2分
因為

AD

∥

BC

，
所以（x+4）y-（y-2）x=0，即x+2y=0，①…4分
（2）由題意得

AC

=

AB

+

BC

=(x+6，y+1)，

BD

=

BC

+

CD

=(x-2，y-3)，…6分
因為

AC

⊥

BD

，
所以（x+6）（x-2）+（y+1）（y-3）=0，即x²+y²+4x-2y-15=0，②…8分
由①②得

x=2 y=-1

或

x=-6 y=3.

…10分
當(dāng)

x=2 y=-1

時，

AC

=(8，0)，

BD

=(0，-4)，
則S四邊形ABCD=

1

2

|

AC

||

BD

|=16…12分
當(dāng)

x=-6 y=3

時，

AC

=(0，4)，

BD

=(-8，0)，
則S四邊形ABCD=

1

2

|

AC

||

BD

|=16…14分
所以，四邊形ABCD的面積為16

點評：本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)表示，向量數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．