(2007湖南,20)已知雙曲線的左、右焦點分別為,過點的動直線與雙曲線相交于A、B兩點.

(1)若動點M滿足(其中O為坐標(biāo)原點),求點M的軌跡方程;

(2)x軸上是否存在定點C,使為常數(shù)?若存在,求出點C的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

答案:略
解析:

解析:由條件知(2,0)(2,0),設(shè),

(1)設(shè)M(xy),則,,,.由

于是AB的中點坐標(biāo)為

當(dāng)AB不與x軸垂直時,,

因為A、B兩點在雙曲線上,

所以,兩式相減得

,

代入上式,

化簡得

當(dāng)ABx軸垂直時,,求得M(80),也滿足上述方程.

故點M的軌跡方程是

(2)假設(shè)在x軸上存在定點C(m,0),使為常數(shù).

當(dāng)AB不與x軸垂直時,設(shè)直線AB的方程是y=k(x2)(k≠±1)

代入

是上述方程的兩個實根,

所以,

于是

因為是與k無關(guān)的常數(shù),所以44m=0,即m=1,此時

當(dāng)ABx軸垂直時,點A、B的坐標(biāo)可分別設(shè)為,

此時

故在x軸上存在定點C(1,0),使為常數(shù).


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