(2007湖南,20)已知雙曲線的左、右焦點分別為
,過點
的動直線與雙曲線相交于A、B兩點.
(1)若動點M滿足(其中O為坐標(biāo)原點),求點M的軌跡方程;
(2)在x軸上是否存在定點C,使為常數(shù)?若存在,求出點C的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
解析:由條件知 (1)設(shè)M(x,y),則
于是AB的中點坐標(biāo)為 當(dāng)AB不與x軸垂直時, 即 因為A、B兩點在雙曲線上, 所以
即 將 化簡得 當(dāng)AB與x軸垂直時, 故點M的軌跡方程是 (2)假設(shè)在x軸上存在定點C(m,0),使 當(dāng)AB不與x軸垂直時,設(shè)直線AB的方程是y=k(x-2)(k≠±1). 代入 則 所以 于是
因為 當(dāng)AB與x軸垂直時,點A、B的坐標(biāo)可分別設(shè)為 此時 故在x軸上存在定點C(1,0),使 |
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