(2007湖南,20)已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,過點(diǎn)的動直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn).

(1)若動點(diǎn)M滿足(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求點(diǎn)M的軌跡方程;

(2)x軸上是否存在定點(diǎn)C,使為常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

答案:略
解析:

解析:由條件知(2,0),(2,0),設(shè),

(1)設(shè)M(x,y),則,,.由

于是AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為

當(dāng)AB不與x軸垂直時,,

因?yàn)?/FONT>A、B兩點(diǎn)在雙曲線上,

所以,,兩式相減得

,

代入上式,

化簡得

當(dāng)ABx軸垂直時,,求得M(8,0),也滿足上述方程.

故點(diǎn)M的軌跡方程是

(2)假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)C(m,0),使為常數(shù).

當(dāng)AB不與x軸垂直時,設(shè)直線AB的方程是y=k(x2)(k≠±1)

代入

是上述方程的兩個實(shí)根,

所以

于是

因?yàn)?/FONT>是與k無關(guān)的常數(shù),所以44m=0,即m=1,此時

當(dāng)ABx軸垂直時,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可分別設(shè)為,

此時

故在x軸上存在定點(diǎn)C(1,0),使為常數(shù).


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