【答案】
分析:(I)將第k個1與第k+1個1前的2記為第k對,得到前k對共有項數(shù)為2+4+…+2k=k(k+1).由此能求出第10個1為該數(shù)列的第幾項.
(II)由44×45=1980,45×46=2070,2012-1980=32,知第2012項在第45對中的第32個數(shù),由此能求出a
2012和S
2012.
(III)由前k對所在全部項的和為

,能推導出S
993=1954且自第994項到第1056項均為2,而2012-1954=58能被2整除,由此得到存在m=993+29=1022,使S
1022=2012.
解答:解:(I)將第k個1與第k+1個1前的2記為第k對,
即(1,2)為第1對,共1+1=2項;(1,2,2,2)為第2對,共1+3=4項;…;

為第k對,共1+(2k-1)=2k項;
故前k對共有項數(shù)為2+4+…+2k=k(k+1).
第10個1所在的項之前共有9對,所以10個1為該數(shù)列的
9×(9+1)+1=91(項).…(6分)
(II)因44×45=1980,45×46=2070,2012-1980=32,
故第2012項在第45對中的第32個數(shù),從而a
2012=2
又前2012項中共有45個1,其余2012-45=1967個數(shù)均為2,
于是S
2012=45×1+1967×2=3979…(10分)
(III)∵前k對所在全部項的和為

,
∴

,

,
即S
993=1954且自第994項到第1056項均為2,而2012-1954=58能被2整除,
故存在m=993+29=1022,使S
1022=2012.…(14分)
點評:本題考查數(shù)列知識的綜合運用,具有一定的探索性,對數(shù)學思維的要求較高,解題時要認真審題,注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.