Question

【題目】已知三棱錐（如圖）的平面展開圖（如圖）中，四邊形為邊長為的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）．

【解析】分析：（1）設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接BO，PO．推導(dǎo)出PO⊥AC，PO⊥OB，從而 PO⊥平面ABC，由此能證明平面PAC⊥平面ABC．

（2）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

詳解：（1）證明：

設(shè)的中點(diǎn)為，連接，．由題意得，

，，，

因?yàn)樵?/span>中，，為的中點(diǎn)，

所以，

因?yàn)樵?/span>中，，，，

所以，

因?yàn)?/span>，平面，

所以平面，

因?yàn)?/span>平面，

所以平面 平面.

（2）解：由平面，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

，，，，.

由平面，故平面的法向量為，

由，，

設(shè)平面的法向量為，則

由得：

令，得，，即，

.

由二面角是銳二面角，

所以二面角的余弦值為.