Question

已知空間向量

a

，

b

滿足條件：（

a

+3

b

）⊥（7

a

-5

b

），且（

a

-4

b

）⊥（7

a

-2

b

），則空間向量

a

，

b

的夾角＜

a

，

b

＞（　　）

• A、等于30°
• B、等于45°
• C、等于60°
• D、不確定

Answer 1

分析：根據(jù)所給的兩個(gè)垂直關(guān)系，寫(xiě)出兩組向量的數(shù)量積為0，整理式子，把兩個(gè)向量的數(shù)量積和一個(gè)向量的模長(zhǎng)用另一個(gè)向量的模長(zhǎng)來(lái)表示，寫(xiě)出求夾角的式子，約分得到余弦值，進(jìn)一步得到夾角．

解答：解：由題意知：7

a

2+16

a

•

b

-15

b

2=0   ①
7

a

2-30

a

•

b

+8

b

2=0     ②
∴15

b

2-16

a

•

b

=30

a

•

b

-8

b

2，
∴

b

2=2

a

•

b

   ③
把③代入①得

a

2=

b

2，
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

=

1

2

，
∵兩個(gè)向量的夾角屬于[0°，180°]
∴兩個(gè)向量的夾角等于60°
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用兩個(gè)向量的數(shù)量積求兩個(gè)向量的夾角，是一個(gè)比較典型的題目，這里把向量之間的運(yùn)算展示的非常清楚，注意由值求角時(shí)，要寫(xiě)出角的范圍，不然不能確定角的大小．