Question

1．已知數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和為S_n．
（1）若{a_n}是公差為d（d＞0）的等差數(shù)列，且{$\sqrt{{S}_{n}+n}$}也為公差為d的等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}對(duì)任意m，n∈N^*，且m≠n，都有$\frac{2{S}_{m+n}}{m+n}$=a_m+a_n+$\frac{{a}_{m}-{a}_{n}}{m-n}$，求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式表示出a_n與S_n，代入驗(yàn)證即可確定出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令m=2，n=1確定出a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于一切n≥3的自然數(shù)，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：a_n=a₁+（n-1）d，S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d，
∴$\sqrt{{S}_{n}+n}$=$\sqrt{n（{a}_{1}+\frac{n-1}{2}d+1）}$成等差數(shù)列，公差為d，
∴$\sqrt{{S}_{n}+n}$=dn，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+1-\fracxhpd3n9{2}=0}\\{\sqrt{\fracvahs6ou{2}}=d}\end{array}\right.$，
解得：d=$\frac{1}{2}$，a₁=-$\frac{3}{4}$，
則a_n=$\frac{1}{2}$n-$\frac{5}{4}$；
（2）令m=2，n=1，則$\frac{2{S}_{3}}{3}$=2a₂，即$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}}{3}$=a²，
整理得：a₁+a₃=2a₂，即a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明{a_n}成等差數(shù)列，
假設(shè)a₁，a₂，…，a_k成等差數(shù)列，其中k≥3，公差為d，
則令m=k，n=1，$\frac{2{S}_{k+1}}{k+1}$=a_k+a₁+d，
∴2Sk+1=（k+1）（a_k+a₁+d）=k（a_k+a₁）+a₁+a_k+（k+1）d=2S_k+a₁+a_k+（k+1）d，
∴2a_k+1=a₁+a_k+（k+1）d=2（a₁+kd），即a_k+1=a₁+kd，
∴a₁，a₂，…，a_k，a_k+1成等差數(shù)列，
則對(duì)于一切自然數(shù)，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差關(guān)系的確定，熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．