Question

已知函數(shù)（常數(shù)a∈R⁺）
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性并說明理由；
（Ⅱ）試研究函數(shù)f（x）在定義域內的單調性，并利用單調性的定義給出證明．

Answer 1

解：（1）定義域為：（-∞，0）∪（0，+∞）
∵，
∴f（x）是偶函數(shù)．
（2）f（x）=（a∈R⁺）
1⁰若或，則f（x）=，設
由≤x₁＜x₂?x₁²x₂²≥a²?≤且x₂²-x₁²＞0，
當?a 時，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在上是增函數(shù)；
又f（x）是偶函數(shù)，f（x）在上是減函數(shù)．
當時，時，
，1≤x₁＜x₂時，
．
∴f（x）在上是減函數(shù)，
在[1，+∞）上是增函數(shù)；
又f（x）是偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，
在（-∞，-1]上是減函數(shù)．
2⁰若，則f（x）=，
設，同理∴f（x）在上是減函數(shù)，
又f（x）是偶函數(shù)，于是f（x）在上是增函數(shù)．
由1⁰2⁰知：當0＜a≤1時，f（x）在（0，1]上是減函數(shù)，
在[1，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，-1]上是減函數(shù)，在[-1，0）上是增函數(shù)；
當a＞1時，f（x）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
分析：（Ⅰ）首先要考慮函數(shù)的定義域，然后利用函數(shù)奇偶性的定義即可獲得問題的解答；
（Ⅱ）首先將絕對值函數(shù)轉化為分段函數(shù)，然后分類討論不同段上的函數(shù)單調性即可，討論時用定義法即可．
點評：本題考查的是函數(shù)奇偶性與單調性判斷與證明的問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了函數(shù)奇偶性和單調性的定義、分類討論的思想以及問題轉化的能力．值得同學們體會和反思．