給定橢圓C：（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 已知橢圓C的兩個焦點分別是，橢圓C上一動點M1滿足．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程
（Ⅱ）試探究y軸上是否存在點P（0，m）（m＜0），使得過點P作直線l與橢圓C只有一個交點，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為．若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．
【答案】分析：（Ⅰ）由題意得：得，半焦距，所以橢圓C的方程為，“伴隨圓”的方程為x2+y2=4．
（Ⅱ）假設y軸上存在點P（0，m）（m＜0），則設過點P且與橢圓有一個交點的直線l為：y=kx+m，則 ，整理得（1+3k2）x2+6kmx+（3m2-3）=0，所以△=（6km）2-4（1+3k2）（3m2-3）=0，解3k2+1=m2，由此能夠導出y軸上存在點P（0，-2）．
解答：解：（Ⅰ）由題意得：得，半焦距（2分）
則b=1橢圓C的方程為（3分）
“伴隨圓”的方程為x2+y2=4（5分）
（Ⅱ）假設y軸上存在點P（0，m）（m＜0），
則設過點P且與橢圓有一個交點的直線l為：y=kx+m，（1分）
則 整理得（1+3k2）x2+6kmx+（3m2-3）=0（3分）
所以△=（6km）2-4（1+3k2）（3m2-3）=0，解3k2+1=m2①（5分）
又因為直線l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為，
則有化簡得m2=2（k2+1）②（7分）
聯(lián)立①②解得，k2=1，m2=4，所以k=±1，m=-2（∵m＜0）
所以y軸上存在點P（0，-2）（9分）
點評：本題考查圓錐曲線的直線 的位置關系和綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”．
（1）若橢圓C過點(
5
，0)，且焦距為4，求“伴隨圓”的方程；
（2）如果直線x+y=3
2
與橢圓C的“伴隨圓”有且只有一個交點，那么請你畫出動點Q（a，b）軌跡的大致圖形；
（3）已知橢圓C的兩個焦點分別是F1（-
2
，0）、F2（
2
，0），橢圓C上一動點M1滿足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．設點P是橢圓C的“伴隨圓”上的動點，過點P作直線l1、l2使得l1、l2與橢圓C都各只有一個交點，且l1、l2分別交其“伴隨圓”于點M、N．當P為“伴隨圓”與y軸正半軸的交點時，求l1與l2的方程，并求線段|
MN
|的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為F(
2
，0)，其短軸上的一個端點到F的距離為
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和其“準圓”方程．
（Ⅱ）點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，且l1，l2分別交其“準圓”于點M，N．
①當P為“準圓”與y軸正半軸的交點時，求l1，l2的方程；
②求證：|MN|為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0）、B（0，-2），點C滿足   
OC
=α
OA
+β
OB
，其中α、β∈R，且α-2β=1
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設點C的軌跡與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)交于兩點M、N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：
1
a2
+
1
b2
為定值；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率不大于
2
2
，求橢圓長軸長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年湖北省黃岡市高三三月調考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

給定橢圓C：（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 已知橢圓C的兩個焦點分別是，橢圓C上一動點M1滿足．
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