如圖，在矩形ABCD中，AB=1，AD=
3
，P矩形內(nèi)的一點，且AP=
3
2
，若
AP
=λ
AB
+μ
AD
，（λ，μ∈R），則λ+
3
μ的最大值為
 
．
考點：平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：由題意正確得出點P（x，y）所滿足的約束條件，利用
AP
=λ
AB
+μ
AD
（x，y）=λ（1，0）+μ（0，
3
）進行坐標(biāo)變換得出x，y滿足的約束條件，利用基本不等式的方法找出x+y的最大截距即可．
解答： 解：如圖所示，在圖中，設(shè)P（x，y）．
B（1，0），D（0，
3
），C（1，
3
），
由AP=
3
2
，x2+y2=
3
4
，
則點P滿足的約束條件為
0≤x≤
3
2
0≤y≤
3
2
x2+y2=
3
4
，
∵
AP
=λ
AB
+μ
AD
，
即（x，y）=λ（1，0）+μ（0，
3
），
∴x=λ，y=
3
μ，
∴λ+
3
μ=x+y，
由于x+y≤
2(x2+y2)
=
2×
3
4
=
6
2
當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號．
則λ+
3
μ=x+y的最大值為
6
2
，
故答案為：
6
2
點評：本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，基本不等式的運用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，△ABC中G為重心，PQ過G點，
AP
=m
AB
，
AQ
=n
AC
，則
1
m
+
1
n
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[-1，1]上，f（x）=
ax+1;-1≤x＜0
bx+2
x+1
;0≤x≤1
，其中a，b∈R，若f（
1
2
）=f（
3
2
），則a-2b的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左項點A的斜率為k的直線交橢圓于另一個點B，且點B在x軸上的身影恰好為右焦點F，若
1
3
＜k＜
4
5
，則橢圓離心率的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=-（x2+x-c）•ex在區(qū)間[-3，2]上不單調(diào)，則實數(shù)c的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若A=
π
3
，cosB=
3
5
，a=
3
，則b的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在古希臘，畢達哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，15，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因為這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形（如圖）：

則第七個三角形數(shù)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

曲線y=x3-4x在點（1，-3）處的切線方程為（　�。�
A、x+y+2=0
B、x+y+1=0
C、2x-y+5=0
D、x-y-4=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+5x2+3x-9，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（　�。�
A、[-
5
3
，+∞）
B、（-∞，-3]
C、[-3，-
1
3
]
D、（-∞，-3]，[-
1
3
，+∞）

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