Question

當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）=a^x+

x-2

x+1

在（-1，+∞）是增函數(shù)，用反證法證明方程a^x+

x-2

x+1

=0沒有負數(shù)根．

Answer 1

分析：假設(shè)f（x）=0 有負根 x₀，即 f（x₀）=0，根據(jù)f（0）=-1，可得 f（x₀）＞f（0）①，若-1＜x₀＜0，由條件可得f（x₀）＜f（0）=-1，這與①矛盾，若x₀＜-1，可得 f（x₀）＞0，這也與①矛盾．

解答：證明：假設(shè)f（x）=0 有負根 x₀，且 x₀≠-1，即 f（x₀）=0．
根據(jù)f（0）=1+

0-2

1+0

=-1，可得 f（x₀）＞f（0）①． 
若-1＜x₀＜0，由函數(shù)f（x）=a^x+

x-2

x+1

在（-1，+∞）是增函數(shù)，可得f（x₀）＜f（0）=-1，這與①矛盾．
若x₀＜-1，則 ax0＞0，x₀-2＜0，x₀+1＜0，∴f（x₀）＞0，這也與①矛盾．
故假設(shè)不正確．∴方程 a^x+

x-2

x+1

=0 沒有負根．

點評：本題考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，推出矛盾，是解題的關(guān)鍵和難點．