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1.如圖,以坐標原點O為圓心的單位圓與x軸正半軸相交于點A,點B,P在單位圓上,且B(-55255),∠AOB=α.
(1)求\frac{4cosα-3sinα}{5cosα+3sinα}的值;
(2)若四邊形OAQP是平行四邊形,
(i)當P在單位圓上運動時,求點O的軌跡方程;
(ii)設(shè)∠POA=θ(0≤θ≤2π),點Q(m,n),且f(θ)=m+\sqrt{3}n.求關(guān)于θ的函數(shù)f(θ)的解析式,并求其單調(diào)增區(qū)間.

分析 (1)由三角函數(shù)定義得tanα=-2,再弦化切代入計算,即可求求\frac{4cosα-3sinα}{5cosα+3sinα}的值;
(2)(i)設(shè)PA中點為H,P(x1,y1),Q(x,y),則x_1^2+y_1^2=1,H(\frac{{x_1^{\;}+1}}{2},\frac{{y_1^{\;}}}{2}),由此可求點O的軌跡方程;
(ii)確定f(θ)=cosθ+\sqrt{3}sinθ+1=2sin(θ+\frac{π}{6})+1,即可求其單調(diào)增區(qū)間.

解答 解:(1)由三角函數(shù)定義得tanα=-2,所以原式=\frac{4-3tanα}{5+3tanα}=\frac{10}{-1}=-10
(2)∵四邊形OAQP是平行四邊形,∴PA與OQ互相平分,
(i)設(shè)PA中點為H,P(x1,y1),Q(x,y),則x_1^2+y_1^2=1H(\frac{{x_1^{\;}+1}}{2},\frac{{y_1^{\;}}}{2})
H(\frac{x}{2},\frac{y}{2}),所以\left\{\begin{array}{l}{x_1}=x-1\\{y_1}=y\end{array}\right.,代入上式得點Q的軌跡方程為(x-1)2+y2=1.
(ii)依題意得\left\{\begin{array}{l}{x_1}=cosθ\\{y_1}=sinθ\end{array}\right.,
又由(i)知\left\{\begin{array}{l}{x_1}=m-1\\{y_1}=n\end{array}\right.,∴\left\{\begin{array}{l}m=cosθ+1\\ n=sinθ\end{array}\right.,
f(θ)=cosθ+\sqrt{3}sinθ+1=2sin(θ+\frac{π}{6})+1
\left\{\begin{array}{l}2kπ-\frac{π}{2}≤θ+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2},k∈Z\\ 0≤θ≤2π\(zhòng)end{array}\right.,
0≤θ≤\frac{π}{3}\frac{4π}{3}≤θ≤2π,
∴f(θ)的增區(qū)間為[0,\frac{π}{3}][\frac{4π}{3},2π]

點評 本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用,考查軌跡方程,考查三角函數(shù)知識,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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9.(文科)定義:若各項為正實數(shù)的數(shù)列{an}滿足{a_{n+1}}=\sqrt{a_n}(n∈{N^*}),則稱數(shù)列{an}為“算術(shù)平方根遞推數(shù)列”.
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(2)記yn=lg(2xn+1)(n∈N*),求證:數(shù)列{yn}是等比數(shù)列,并求出通項公式y(tǒng)n
(3)從數(shù)列{yn}中依據(jù)某種順序自左至右取出其中的項{y_{n_1}},{y_{n_2}},{y_{n_3}},…,把這些項重新組成一個新數(shù)列{zn}:{z_1}={y_{n_1}},{z_2}={y_{n_2}},{z_3}={y_{n_3}},…
 若數(shù)列{zn}是首項為{z_1}={(\frac{1}{2})^{m-1}},公比為q=\frac{1}{2^k}(m,k∈{N^*})的無窮等比數(shù)列,且數(shù)列{zn}各項的和為\frac{1}{3},求正整數(shù)k、m的值.

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6.判斷下列命題正確的是②③④
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