Question

求證：e^x≥x+1。

 

Answer 1

答案：
解析：

證明：設(shè)f(x)=ex-x-1，f(x)=ex-1 　　 (1)當(dāng)x≤-1時，x+1≤0，ex＞0  ∴ ex＞x+1 　　 (2)當(dāng)x=0時，ex=1，x+1=1，∴ ex=x+1 　　 (3)當(dāng)-1＜x＜0時，f′(x)=ex-1＜0， 　　  ∴ f(x)=ex-x-1在區(qū)間(-1，0)內(nèi)是減函數(shù)。 　　  ∴ f(x)＞f(0)=0 ∴ ex-x-1＞0 　　  ∴ ex＞x+1. 　　  (4)當(dāng)時，f′(x)=ex-1＞0 　　  ∴ f(x)=ex-x-1在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)是增函數(shù)。 　　  ∴ f(x)＞f(0)=0. 　　  ∴ ex-x-1＞0. 　　  ∴ ex＞x+1. 　　  綜合(1)(2)(3)(4)可知對xR，ex≥x+1成立。