Question

已知函數(shù)f(x)=(a-

1

2

)x2-lnx(a∈R)
（I）當(dāng)a=l時，求f（x）在（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)h（x）=f（x）+21nx（a∈R）的圖象恒在直線y=2ax的下方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）把a=1代入函數(shù)f（x），對f（x）進(jìn)行求導(dǎo)得到極值，求出單調(diào)區(qū)間，從而求出最值；
（Ⅱ）已知在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)h（x）=f（x）+21nx（a∈R）的圖象恒在直線y=2ax的下方，將問題轉(zhuǎn)化為對任意x∈（1，+∞），不等式（a-

1

2

）x²+lnx-2a＜0恒成立，只要求出（a-

1

2

）x²+lnx-2a的最大值小于0即可，我們可以令一個新的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究其最值問題，從而求解；

解答：解：（I）當(dāng)a=1時，f（x）=

1

2

x²-lnx（a∈R）
f′（x）=x-

1

x

=

(x-1)(x+1)

x

（x＞0）
當(dāng)x∈（0，1），f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，e]，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，在（1，e]，上單調(diào)遞增，
則當(dāng)x∈（0，e]上，f（x）_min=f（1）=

1

2

；
（Ⅱ）在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)h（x）=f（x）+21nx（a∈R）的圖象恒在直線y=2ax的下方，
等價于對任意x∈（1，+∞），不等式（a-

1

2

）x²+lnx-2a＜0恒成立，
設(shè)g（x）=（a-

1

2

）x²+lnx-2a，x∈（1，+∞），
則g′（x）=（2a-1）x-2a+

1

x

=（x-1）（2a-1-

1

x

）
當(dāng)x∈（1，+∞），時，x-1＞0，0＜

1

x

＜1，
①若2a-1≤0，即a≤

1

2

，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，+∞）上位減函數(shù)，
則當(dāng)?x∈（1，+∞）時，g（x）＜g（1）=a-

1

2

-2a=-

1

2

-a，只需要
-

1

2

-a≤0，即當(dāng)-

1

2

≤a≤

1

2

時，g（x）=（a-

1

2

）x²+lnx-2ax＜0恒成立；
②若0＜2a-1＜1，即

1

2

＜a＜1時，令g′（x）=（x-1）（2a-1-

1

x

）=0，
得x=

1

2a-1

＞1，函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，

1

2a-1

）為減函數(shù)，在（

1

2a-1

，+∞）上位增函數(shù)，
則g（x）∈（g（

1

2a-1

），+∞），不合題意；
③若2a-1≥1即當(dāng)a≥1時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）為增函數(shù)，則g（x）∈（g（1），+∞），不合題意，
綜上可知當(dāng)-

1

2

≤a≤

1

2

時，g（x）=（a-

1

2

）x²+lnx-2ax＜0恒成立；
即當(dāng)-

1

2

≤a≤

1

2

時，在區(qū)間（1，+∞）上函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方；

點評：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，第一問比較簡單，是特殊的情況，第二題其實質(zhì)是一個函數(shù)的恒成立問題，解題過程中用到了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想，這是高考的熱點問題，本題是一道綜合題，難度比較大；