Question

已知函數f（x）=x³+bx²+cx+d在（-∞，0]上是增函數，在[0，1]上是減函數，其中b、c、d都是實數．
（I）求c的值；
（II）求b的取值范圍；
（III）當b≠-3時，令g（x）=

f(x)-f(1) x-1 ，x≠1 3+2b，x=1

，若g（x）的最小值為h（b），求h（b）的最大值．

Answer 1

分析：（I）據題意，所以0是f（x）的極大值點，判斷出0是f（x）的極大值點，得到f′（0）=0，求出c=0；
（II），當b＞0時，由f′（x）＜0得到函數的遞減區(qū)間為(-

2b

3

，0)與在[0，1]上是減函數矛盾，不合題意．當b＜0時，由f′（x）＜0得到函數的遞減區(qū)間為(0，-

2b

3

)，令-

2b

3

≥1得b的范圍．
（III）求出g（x）的解析式，分段求出各段函數的最小值，比較出最小值h（b），利用二次函數的性質求出h（b）的最大值．

解答：解：（I）據題意，f′（x）=3x²+2bx+c≥0在（-∞，0]上恒成立，
且f′（x）=3x²+2bx+c≤0在[0，1]上恒成立，
所以0是f（x）的極大值點，
所以f′（0）=0，
所以c=0
（II），由（I）知，f′（x）=3x²+2bx=x（3x+2b），
當b＞0時，由f′（x）＜0解得-

2b

3

＜x＜0，
所以函數的遞減區(qū)間為(-

2b

3

，0)與在[0，1]上是減函數矛盾，不合題意．
當b＜0時，由f′（x）＜0解得0＜x＜-

2b

3

，
所以函數的遞減區(qū)間為(0，-

2b

3

)，
因為函數在[0，1]上是減函數，
所以f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，
所以-

2b

3

≥1解得b≤-

3

2

（III）g(x)=

x2+(1+b)x+1+b    (x≠1) 3+2b                    (x=1)

當x≠1時，b≠-3時，g(x)min=

-b2+2b+3

4

，
因為

-b2+2b+3

4

-(3+2b)=-

1

4

(b+3)2≤0，
所以x∈R時，h（b）=g(x)min=

-b2+2b+3

4

，
又b≤-

3

2

，b≠-3時，h（b）是關于b的增函數，
所以h(b)max=h(-

3

2

)=-

9

16

點評：本題考查函數在極值點處的導數值為0，函數遞增時，導函數大于等于0；考查分段函數的最值應該分段來求，屬于較難的題．