Question

有以下五個(gè)命題
①設(shè)a＞0，f（x）=ax²+bx+c，曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x₀，f（x₀））處切線的傾斜角的取值范圍為[0，

π

4

]，則點(diǎn)P到曲線y=f（x）對(duì)稱軸距離的取值范圍為[0，

1

2a

]；
②一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)t稱后的位移為s=

1

3

t3-

3

2

t2+2t，那么速度為零的時(shí)刻只有1秒末；
③若函數(shù)f（x）=log_a（x³-ax）（a＞0，且a≠1）在區(qū)間(-

1

2

，0)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是[

3

4

，1)；
④定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x+1）=-f（x），則f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱；
⑤函數(shù)y=f（x-2）和y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱．其中正確的有

 

．

Answer 1

分析：對(duì)于①，f′（x）=2ax+b，因?yàn)榍芯�的傾斜角的取值范圍為[0，

π

4

]，所以f′（x₀）=2ax₀+b∈[0，1]，所以0≤ x0+

b

2a

≤

1

2a

判斷出①對(duì)；對(duì)于②，S′=t²-3t+2，令S′=t²-3t+2=0得x=2或x=1所以速度為零的時(shí)刻只有1秒末或2秒末，判斷出②錯(cuò)；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷出③對(duì)；對(duì)于④，因?yàn)槎�義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x+1）=-f（x），所以f（x+1）=f（-x），所以f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，判斷出④對(duì)對(duì)于⑤，根據(jù)圖象的平移變換判斷出⑤對(duì)．

解答：解：對(duì)于①，f′（x）=2ax+b，因?yàn)榍芯�的傾斜角的取值范圍為[0，

π

4

]，所以f′（x₀）=2ax₀+b∈[0，1]，所以0≤ x0+

b

2a

≤

1

2a

即點(diǎn)P到曲線y=f（x）對(duì)稱軸距離的取值范圍為[0，

1

2a

]；故①對(duì)
對(duì)于②，S′=t²-3t+2，令S′=t²-3t+2=0得x=2或x=1所以速度為零的時(shí)刻只有1秒末或2秒末，故②錯(cuò)，
對(duì)于③，令t=x³-ax，因?yàn)閠′=3x²-a，當(dāng)a＞1時(shí)，t′=3x²-a≥0在區(qū)間(-

1

2

，0)內(nèi)恒成立，得a≤0不合題意；當(dāng)0＜a＜1時(shí)t′=3x²-a≤0在區(qū)間(-

1

2

，0)內(nèi)恒成立，得a≥

3

4

，所以a的取值范圍是[

3

4

，1)；所以③對(duì)；
對(duì)于④，因?yàn)槎�義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x+1）=-f（x），所以f（x+1）=f（-x），所以f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，故④對(duì)；
對(duì)于⑤，因?yàn)閥=f（x）與y=f（-x）關(guān)于y軸對(duì)稱，而y=f（x-2）的圖象是由y=f（x）的圖象向右平移2個(gè)單位；
y=f（2-x）的圖象是由f（-x）的圖象向有平移2個(gè)單位，所以函數(shù)y=f（x-2）和y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，故⑤對(duì)．
故答案為①③④⑤

點(diǎn)評(píng)：解決函數(shù)的圖象的平移問(wèn)題，一定要注意圖象平移的單位是自變量x的變換的數(shù)的絕對(duì)值，然后遵循左加右減的原則．