Question

【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an2+2an＝4Sn+3．

（1）求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】（1）an＝2n+1；（2）2．

【解析】

（1）根據(jù)題意求出首項(xiàng)，再由（an+12+2an+1）﹣（an2+2an）＝4an+1，求得該數(shù)列為等差數(shù)列即可求得通項(xiàng)公式；

（2）利用錯位相減法進(jìn)行數(shù)列求和.

（1）∵an2+2an＝4Sn+3，

∴a12+2a1＝4S1+3，即，

解得：a1＝3或a1＝﹣1（舍），

又∵an+12+2an+1＝4Sn+1+3，

∴（an+12+2an+1）﹣（an2+2an）＝4an+1，

整理得：（an+1﹣an）（an+1+an）＝2（an+1+an），

又∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正，

∴an+1﹣an＝2，

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3、公差為2的等差數(shù)列，

∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；

（2）由（1）可知bn，

記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則

Tn＝35（2n+1），

Tn＝35…+（2n﹣1）（2n+1），

錯位相減得：Tn＝1+2（）﹣（2n+1）

＝12

，

∴Tn（）＝2．