Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，(p-1)Sn=p2-an，n∈N^*，p＞0，且p≠1，數(shù)列{b_n}滿足b_n=2log_pa_n
（1）求a_n，b_n；
（2）若p=

1

2

，設(shè)數(shù)列{

bn

an

}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：0＜T_n≤4．

Answer 1

分析：（1）由于正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且（p-1）S_n=p²-a_n，（n∈N^*，p＞0，p≠1），利用已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求其通項(xiàng)的公式及等比數(shù)列的定義即可求得a_n，利用b_n=2log_pa_n，可求b_n；
（2）利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列的和，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，（P-1）a₁=P²-a₁，∴a₁=P
當(dāng)n≥2時(shí)，（P-1）S_n=P²-a_n①，（P-1）S_n-1=P²-a_n-1②
由①-②得：

an

an-1

=

1

p

，
所以數(shù)列{a_n}是以a₁=P為首項(xiàng)，公比為

1

P

的等比數(shù)列．
∴a_n=P^2-n；
∴b_n=2log_pa_n=4-2n；
（2）證明：p=

1

2

，

bn

an

=

4-2n

2n-2

∴T_n=2×

1

2-1

+0×

1

20

+…+

4-2n

2n-2

∴

1

2

T_n=2×

1

20

+0×

1

21

+…+

6-2n

2n-2

+

4-2n

2n-1

兩式相減可得

1

2

T_n=2×

1

2-1

-2×（

1

20

+

1

21

+…+

1

2n-2

）-

4-2n

2n-1

∴T_n=

n

2n-3

＞0
∵當(dāng)n＞2時(shí)，T_n-T_n-1=

2-n

2n-2

＜0，∴T_n≤T₃=3
∵T₁=T₂=4，
∴0＜T_n≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，正確運(yùn)用錯(cuò)位相減法是解題的關(guān)鍵．