已知橢圓E長軸的一個端點是拋物線y2=12x的焦點，且橢圓焦點與拋物線焦點的距離是1．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）若A、B是橢圓E的左右端點，O為原點，P是橢圓E上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交y軸于M、N，問
OM
•
0N
是否為定值，說明理由．
考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程
專題：向量與圓錐曲線
分析：（1）求出拋物線的焦點坐標，得到橢圓的長半軸長，再由a-c=1求得c，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出P點坐標，代入橢圓方程，求出直線PA和PB的方程，取x=0求得M，N的坐標，得到向量
OM
，
ON
的坐標，代入數(shù)量積公式可得
OM
•
0N
為定值．
解答： 解：（1）由拋物線y2=12x，得焦點為（3，0），
已知可知橢圓的焦點在x軸，且a=3，
又a-c=1，則c=2，
∴b2=a2-c2=5，
故橢圓的方程為：
x2
9
+
y2
5
=1；
（2）設(shè)P（x0，y0），則5x02+9y02=45，且A（-3，0），B（3，0），
又直線PA：y=
y0
x0+3
(x+3)，直線PB：y=
y0
x0-3
(x-3)，
令x=0，得：
OM
=(0，
3y0
x0+3
)，
ON
=(0，
-3y0
x0-3
)，
故
OM
•
ON
=
-9y02
x02-9
=
5x02-45
x02-9
=5為定值．
點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了平面向量的數(shù)量積運算，是中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給定集合An={1，2，3，…，n}（n∈N+），映射f：An→An滿足：①當i，j∈An，i≠j時，f（i）≠f（j）；②任取m∈An，若m≥2，則有m∈{f（1），f（2），…，f（m）}．則稱映射f：An→An是一個“優(yōu)映射”．例如：用表1表示的映射f：A3→A3是一個“優(yōu)映射”．
表1                          
i123
 f（i）231
表2
i1234
f（i）3
（1）已知表2表示的映射f：A4→A4是一個“優(yōu)映射”，請把表2補充完整．
（2）若映射f：A6→A6是“優(yōu)映射”，且方程f（i）=i的解恰有3個，則這樣的“優(yōu)映射”的個數(shù)是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某校為了解高一年段期中考試數(shù)學科的情況，從高一的所有數(shù)學試卷中隨機抽取n份試卷進行分析，得到數(shù)學成績頻率分布直方圖如下圖，其中成績在[70，80）的人數(shù)為15，規(guī)定：成績≥80分為優(yōu)秀．
（Ⅰ）求樣本中成績優(yōu)秀的試卷份數(shù)，并估計該校高一年段期中考試數(shù)學成績的優(yōu)秀率；
（Ⅱ）從樣本成績在[50，60）和[60，70）這兩組中共隨機抽取2名同學，求抽取的2名同學中不及格（成績＜60分）的人數(shù)ξ的分布列及數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

三名男生和三名女生站成一排，若男生甲不站在兩端，任意兩名女生都不相鄰，則不同的排列種數(shù)是（　�。�
A、120B、96C、84D、36

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在正方體ABCD-A′B′C′D′中，求證：
（1）平面ACC′A′⊥平面A′BD
（2）AC′⊥平面A′BD．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A（2，3），B（1，0），C（-1，0），點D、E分別在線段AB、AC上，
AD
DB
=λ1，
AE
EC
=λ2，且λ1+λ2=1，線段BE、CD交于點P，則點P軌跡的長度是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知中心在原點的橢圓C的左焦點F（-
3
，0），右頂點A（2，0）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）斜率為
1
2
的直線l與橢圓C交于A、B兩點，求弦長|AB|的最大值及此時l的直線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知常數(shù)a滿足a＞0且a≠1，則函數(shù)f（x）=loga（-x），g（x）=ax-a，則他們的圖象可能是下列選項（　�。�
A、
B、
C、
D、

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，A為最小角，B為最大角，已知sin（2A+C）=
4
5
，sinB=
4
5
，求cos2（B+C）

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