Question

長為3的線段兩端點(diǎn)A，B分別在x軸正半軸和y軸的正半軸上滑動(dòng)，，點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

（1）以直線AB的傾斜角為參數(shù)，求曲線C的參數(shù)方程；

（2）求點(diǎn)P到點(diǎn)距離的最大值.

 

Answer 1

（1）（α為參數(shù)，90?＜α＜180?）；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查參數(shù)方程、兩點(diǎn)間距離公式、直角三角形中的正弦、余弦值的計(jì)算、平方關(guān)系、配方法、三角函數(shù)的有界性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、數(shù)形結(jié)合的能力、計(jì)算能力.第一問，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，在三角形AOB中，利用正弦公式、余弦公式計(jì)算x，y的值，得到曲線C的參數(shù)方程，注意角的取值范圍；第二問，利用第一問求出的點(diǎn)P坐標(biāo)的x，y值，用兩點(diǎn)間距離公式得到表達(dá)式，利用平方關(guān)系、配方法、三角函數(shù)的有界性求表達(dá)式的最值.

試題解析：（1）設(shè)P(x，y)，由題設(shè)可知，

則x＝|AB|cos(?－α)＝－2cosα，y＝|AB|sin(?－α)＝sinα，

所以曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)，90?＜α＜180?）． 5分

（2）由（1）得

|PD|2＝(－2cosα)2＋(sinα＋2)2＝4cos2α＋sin2α＋4sinα＋4

＝－3sin2α＋4sinα＋8＝．

當(dāng)時(shí)，|PD|取最大值． 10分

考點(diǎn)：參數(shù)方程、兩點(diǎn)間距離公式、直角三角形中的正弦、配方法、三角函數(shù)的有界性.