Question

（2010•青島一模）已知向量

m

=(

3

sin2x+t，cosx)，

n

=(1，2cosx)，設(shè)函數(shù)f(x)=

m

•

n

．
（Ⅰ）若cos(2x-

π

3

)=

1

2

，且

m

⊥

n

，求實(shí)數(shù)t的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若f（A）=3，b=1，且△ABC的面積為

3

2

，實(shí)數(shù)t=1，求邊長(zhǎng)a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合cos(2x-

π

3

)=

1

2

，即可求實(shí)數(shù)t的值；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)函數(shù)，求出A，利用△ABC的面積為

3

2

，實(shí)數(shù)t=1，求出c的值，再利用余弦定理，即可求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意得

m

•

n

=(

3

sin2x+t)+2cos2x=2sin(2x+

π

6

)+t+1=0…（3分）
所以t=-2sin(2x+

π

6

)-1=-2cos(2x-

π

3

)-1=-2…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=2sin(2x+

π

6

)+t+1=2sin(2x+

π

6

)+2
由題意得f(A)=2sin(2A+

π

6

)+2=3
所以sin(2A+

π

6

)=

1

2

…（8分）
因?yàn)?span id="eubmft7" class="MathJye">0＜A＜π，

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，所以2A+

π

6

=

5π

6

解得A=

π

3

因?yàn)椤鰽BC的面積為

3

2

，所以

1

2

bcsinA=

3

2

，bc=2即c=2…（10分）
由余弦定理得a=

b2+c2-2bccosA

=

1+4-2×1×2× 1 2

=

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．