Question

【題目】某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計劃，需了解年研發(fā)資金投入量（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響.該公司對歷史數(shù)據(jù)進行對比分析，建立了兩個函數(shù)模型:①，②，其中均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．

現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額的數(shù)據(jù)，，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了右側(cè)的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．令，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：

（1）設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為，和的相關(guān)系數(shù)為，請從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；

（2）（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；

（ii）若下一年銷售額需達到90億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量是多少億元？

附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，；

② 參考數(shù)據(jù)：，，．

Answer 1

【答案】（1）模型的擬合程度更好；（2）（i）；（ii）億元.

【解析】

（1）由相關(guān)系數(shù)求出兩個系數(shù)，比較大小可得；

（2）（i）先建立關(guān)于的線性回歸方程，從而得出關(guān)于的回歸方程；

（ii）把代入（i）中的回歸方程可得值．

本小題主要考查回歸分析等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力、抽象概括能力及應(yīng)用意識,考查統(tǒng)計與概率思想、分類與整合思想,考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性．

解：（1），

，

則，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型的擬合程度更好

（2）（i）先建立關(guān)于的線性回歸方程.

由，得，即．

由于，

所以關(guān)于的線性回歸方程為，

所以，則

（ii）下一年銷售額需達到90億元，即，

代入得，，

又，所以，

所以，

所以預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量約是億元