Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，證明： 為偶函數(shù)；

（2）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍，使在上恒成立.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）．

【解析】試題分析：（1）代入，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即可判定為偶函數(shù)；

（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，求得函數(shù)在上單調(diào)遞增，進(jìn)而得到對(duì)任意的恒成立，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）由（1）、（2）知函數(shù)的最小值，進(jìn)而得，設(shè)，得不等式恒成立，等價(jià)于，進(jìn)而恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍．

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)， ，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

而，說(shuō)明為偶函數(shù)；

（2）在上任取、，且，

則，

因?yàn)?/span>，函數(shù)為增函數(shù)，得， ，

而在上單調(diào)遞增，得， ，

于是必須恒成立，

即對(duì)任意的恒成立，

；

（3）由（1）、（2）知函數(shù)在上遞減，在上遞增，

其最小值，

且，

設(shè)，則，

于是不等式恒成立，等價(jià)于，

即恒成立，

而，僅當(dāng)，即時(shí)取最大值，

故