Question

下圖為某四棱錐的展開圖,其中ABCD是邊長為a的正方形,SA=PA=a,DR=SD,

BQ=BP且點S、A、B、Q及P、A、D、R共線,沿虛線將它們折疊成四棱錐,使P、Q、R、S四點重合為S.

(1)請畫出四棱錐S—ABCD的示意圖,并證明SA⊥底面ABCD;

(2)若E為AB中點,求二面角ESCD的大小;

(3)求D到面SEC的距離.

Answer 1

解：(1)如圖,SA⊥AD,SA⊥AB,SA⊥平面ABCD.

    (2)建立如圖所示的坐標系,則E(,0,0),D(0,a,0),C(a,a,0),S(0,0,a)

    設(shè)面SEC的法向量為n=(x,y,z).

   

    令z=1,得n=(2,-1,1),同理可求得平面SCD的法向量m=(0,1,1).

    cos〈m,n〉==0,故〈m,n〉=90°,

    即E-SC-D的大小為90°.

    (3)D到面SEC的距離d===a,

    也可用·a²·a=V_S—CDE=V_D—SEC=·()²··d,

    求得d=a.