Question

已知E，F，G，H分別是空間四邊形四條邊AB，BC，CD，DA的中點，
（1）求證四邊形EFGH是平行四邊形
（2）若AC⊥BD時，求證：EFGH為矩形；
（3）若AC、BD成30°角，AC=6，BD=4，求四邊形EFGH的面積；
（4）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC與BD間的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,棱錐的結構特征,直線與平面平行的性質

專題：綜合題

分析：（1）根據三角形中位線定理易證EF∥AC，EF=

1

2

AC，同理GH∥AC，GH=

1

2

AC，所以四邊形EFGH是平行四邊形
（2）AC⊥BD等價于EF⊥FG，結合（1）可知EFGH為矩形．
（3）由于AC∥EF，BD∥FG，所以得出EF與FG所成的角即為AC、BD所成的角，EFGH中有一內角為30°，利用平行四邊形面積公式S=absinθ計算即可．
（4）設M，N分別為BD，AC中點，可以證明MN是BD，AC的公垂線段，在直角三角形AMN中求出MN即可．

解答： 解：（1）∵E，F是邊AB，BC的中點，∴EF∥AC，EF=

1

2

AC，同理GH∥AC，GH=

1

2

AC，∴四邊形EFGH是平行四邊形
 （2）∵AC∥EF，BD∥FG，若AC⊥BD，則EF⊥FG，結合（1）可知EFGH為矩形．
（3）∵AC∥EF，BD∥FG，∴EF與FG所成的角即為AC、BD所成的角，∴∠EFG（或其補角）=30°，S _EFGH =EF×FG×sin∠EFG=

1

2

AC×

1

2

BD×sin30°=3
（4）設M，N分別為BD，AC中點，連接MA，MC，MN．則AM⊥BD，CM⊥BD，∴BD⊥面AMC，BD⊆MN，易知AM=CM=

3

，∴MN⊥AC，∴MN是BD，AC的公垂線段，MN的長即為所求距離．
在直角三角形AMN中，MN=

AM2-AN2

=

2

．

點評：本題考查空間直線和直線，直線和平面的位置關系的判定，異面直線的夾角和距離求解，考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．