Question

已知橢圓的離心率為，其左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P（x₀，y₀）是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，且（O為坐標(biāo)原點）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點，在y軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
則由；
由得，
即．
所以c=1
又因為．
因此所求橢圓的方程為：．
（2）動直線l的方程為：，
由得．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則．
假設(shè)在y軸上存在定點M（0，m），滿足題設(shè)，則．

=
=
=
=
由假設(shè)得對于任意的恒成立，
即解得m=1．
因此，在y軸上存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點，
點M的坐標(biāo)為（0，1）
分析：（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用|OP|的值求得x₀和y₀的關(guān)系式，同時利用求得x₀和y₀的另一關(guān)系式，進(jìn)而求得c，通過橢圓的離心率求得a，最后利用a，b和c的關(guān)系求得b，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則可利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，假設(shè)在y軸上存在定點M（0，m），滿足題設(shè)，則可表示出，利用=0求得m的值．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．考查了學(xué)生分析問題和推理的能力．