Question

【題目】定義在上的函數(shù)，如果存在函數(shù)（為常數(shù)），使得對一切實數(shù)都成立，則稱為函數(shù)的一個承托函數(shù)，給出如下命題：

①函數(shù)是函數(shù)的一個承托函數(shù)；

②函數(shù)是函數(shù)的一個承托函數(shù)；

③若函數(shù)是函數(shù)的一個承托函數(shù)，則的取值范圍是；

④值域是的函數(shù)不存在承托函數(shù).

其中正確的命題的個數(shù)為__________．

Answer 1

【答案】2

【解析】解：

①,∵x>0時,f(x)=lnx∈(∞,+∞)，

∴不能使得f(x)g(x)=2對一切實數(shù)x都成立，故①錯誤；

②,令t(x)=f(x)g(x),則t(x)=x+sinx(x1)=sinx+10恒成立,故函數(shù)g(x)=x1是函數(shù)f(x)=x+sinx的一個承托函數(shù)，②正確；

③,令h(x)=exax,則h′(x)=exa，

由題意，a=0時，結論成立；

a≠0時,令h′(x)=exa=0，則x=lna，

∴函數(shù)h(x)在(∞,lna)上為減函數(shù),在(lna,+∞)上為增函數(shù)，

∴x=lna時，函數(shù)取得最小值aalna；

∵g(x)=ax是函數(shù)f(x)=ex的一個承托函數(shù)，

∴aalna0，

∴lna1，

∴0<ae，

綜上，0ae，故③正確；

④,不妨令f(x)=2x,g(x)=2x1,則f(x)g(x)=10恒成立,故g(x)=2x1是f(x)=2x的一個承托函數(shù)，④錯誤；

綜上所述，所有正確命題的序號是②③。

正確的命題的個數(shù)為2.