已知橢圓C的長軸長與短軸長之比為
3
5
，焦點坐標(biāo)分別為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知A（-3，0），B（3，0），P是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交y軸于M、N，求
OM
•
ON
的值．
分析：（Ⅰ） 設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，利用橢圓C的長軸長與短軸長之比為
3
5
，焦點坐標(biāo)分別為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），確定幾何量之間的關(guān)系，從而可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x0，y0），可得直線方程，令x=0，從而可求M，N的坐標(biāo)，根據(jù)P點在橢圓上，即可求得
OM
•
ON
的值．
解答：解：（Ⅰ） 設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1．
∵
a
b
=
3
5
，c=2，a2=b2+c2
∴a2=9，b2=5…（4分）
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
9
+
y2
5
=1．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)P（x0，y0），直線PA：y=
y0
x0+3
(x+3)，PB：y=
y0
x0-3
(x-3)…（7分）
令x=0，得：M(0，
3y0
x0+3
)，N(0，
-3y0
x0+3
)…（9分）
∵P點在橢圓上，∴
x02
9
+
y02
5
=1
所以：
OM
•
ON
=
-9y02
x02-9
=
5(x02-9)
x02-9
=5，…（12分）
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線方程，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法是我們常用的方法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的長軸長與短軸長之比為
3
5
，焦點坐標(biāo)分別為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A（-3，0），B（3，0），p（xp，yp）是橢圓C在第一象限部分上的一動點，且∠APB是鈍角，求xp的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的長軸長與短軸長之比為
3
5
，焦點坐標(biāo)分別為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知A（-3，0），B（3，0），P是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交y軸于M、N，求
OM
•
ON
的值；
（3）在（2）的條件下，若G（s，0），H（k，0），且
GM
⊥
HN
，（s＜k），分別以O(shè)G、OH為邊作兩正方形，求此兩正方形的面積和的最小值，并求出取得最小值時的G、H點坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的長軸長與短軸長之比為
3
5
，焦點坐標(biāo)分別為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求以橢圓C長軸的端點為焦點，離心率e=
3
2
的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的長軸長與短軸長之比為數(shù)學(xué)公式，焦點坐標(biāo)分別為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求以橢圓C長軸的端點為焦點，離心率數(shù)學(xué)公式的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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