Question

把已知正整數(shù)n表示為若干個(gè)正整數(shù)（至少3個(gè)，且可以相等）之和的形式，若這幾個(gè)正整數(shù)可以按一定順序構(gòu)成等差數(shù)列，則稱(chēng)這些數(shù)為n的一個(gè)等差分拆．將這些正整數(shù)的不同排列視為相同的分拆．如：（1，4，7）與（7，4，1）為12的相同等差分拆．問(wèn)正整數(shù)30的不同等差分拆有

19

個(gè)．

Answer 1

分析：由于30=1×30=2×15=3×10=5×6．因此可以考慮以下等差分拆．
①以10為等差中項(xiàng)的三個(gè)整數(shù)的分拆共有以下10個(gè)；②30等差分拆為4個(gè)數(shù)的共有以下2個(gè)；③30等差分拆為5個(gè)數(shù)的共有以下3個(gè)；
④30等差分拆為6個(gè)數(shù)的只有以下1個(gè)；⑤30等差分拆為10個(gè)數(shù)的只有以下1個(gè)；⑥30等差分拆為15個(gè)數(shù)的只有以下1個(gè)；⑦30等差分拆為30個(gè)數(shù)的只有以下1個(gè)．．

解答：解：∵30=1×30=2×15=3×10=5×6．∴可以考慮以下等差分拆．
①以10為等差中項(xiàng)的三個(gè)整數(shù)的分拆共有以下10個(gè)：30=1+10+19=2+10+18=…=10+10+10；
②30等差分拆為4個(gè)數(shù)的共有以下2個(gè)：6，7，8，9；3，6，9，12；
③30等差分拆為5個(gè)數(shù)的共有以下3個(gè)：6，6，6，6，6；4，5，6，7，8；2，4，6，8，10；
④30等差分拆為6個(gè)數(shù)的只有以下1個(gè)：5，5，5，5，5，5；
⑤30等差分拆為10個(gè)數(shù)的只有以下1個(gè)：3，3，…，3（共10個(gè)3）；
⑥30等差分拆為15個(gè)數(shù)的只有以下1個(gè)：2，2，…，2（共15個(gè)2）；
⑦30等差分拆為30個(gè)數(shù)的只有以下1個(gè)：1，1，…，1（共30個(gè)1）．
綜上可知：正整數(shù)30的不同等差分拆共有19個(gè)．
故答案為19．

點(diǎn)評(píng)：把30=1×30=2×15=3×10=5×6正確分解質(zhì)因數(shù)及掌握分類(lèi)討論思想方法、等差數(shù)列的定義是解題的關(guān)鍵．