已知△ABC中,(tanA+1)(tanB+1)=2,AB=2,求:
(1)角C的度數(shù);
(2)求三角形ABC面積的最大值.
【答案】
分析:(1)把已知的等式(tanA+1)(tanB+1)=2變形,利用兩角和的正切函數(shù)公式即可求出tan(A+B)的值,利用三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式即可求出tanC的值,根據(jù)C的范圍,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù);
(2)由AB即c的值和cosC的值,利用余弦定理即可表示出關(guān)于a與b的關(guān)系式,利用基本不等式求出ab的最大值,然后利用三角形的面積公式,由求出的ab的最大值和sinC的值即可求出三角形ABC面積的最大值.
解答:解:記角A、角B、角C的對(duì)邊分別為a、b、c
(1)tanA+tanB+tanAtanB+1=2,即tanA+tanB=1-tanAtanB,
∵1-tanAtanB≠0,
∴tan(A+B)=
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=1,
即tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-1,
∵C∈(0,π),∴C=
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;
(2)由余弦定理a
2+b
2-2abcosC=c
2得:
a
2+b
2+2×
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ab=4,即a
2+b
2+
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ab=4,
而4-
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ab=a
2+b
2≥2ab,即ab≤4-2
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,
所以S
△ABC=
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absinC=
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ab≤
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(4-2
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)=
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-1.
點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和的正切函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值,靈活運(yùn)用余弦定理及三角形的面積公式化簡(jiǎn)求值,會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最大值,是一道中檔題.