已知向量
a
=（cos
3x
2
，sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），且x∈[
π
2
，π]．
（1）求
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（2）求函數(shù)f（x）=
a
•
b
+|
a
+
b
|的最大值，并求使函數(shù)取得最大值時(shí)x的值．
分析：（1）由向量
a
=（cos
3x
2
，sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），且x∈[
π
2
，π]，利用向量的數(shù)量積公式和向量的模的計(jì)算法則能夠求出
a
•
b
及|
a
+
b
|．
（2）由f（x）=
a
•
b
+|
a
+
b
|=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2（cosx-
1
2
）2-
3
2
，能求出函數(shù)f（x）=
a
•
b
+|
a
+
b
|的最大值，并能求出使函數(shù)取得最大值時(shí)x的值．
解答：解：（1）∵向量
a
=（cos
3x
2
，sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），且x∈[
π
2
，π]．
∴
a
•
b
=cos
3x
2
cos
x
2
-sin
3x
2
sin
x
2

=cos2x，
|
a
+
b
|  =
(cos
3x
2
+cos
x
2
)2+(sin
3
2
x+sin
x
2
)2   

=
2+2(cos
3x
2
cos
x
2
-sin
3
2
xsin
x
2
)  

=
2+2cos2x

=2|cosx|，
∵x∈[
π
2
，π]，
∴cosx＜0．
∴|
a
+
b
|=-2cosx．
（2）f（x）=
a
•
b
+|
a
+
b
|
=cos2x-2cosx
=2cos2x-2cosx-1
=2（cosx-
1
2
）2-
3
2
，
∵x∈[
π
2
，π]，
∴-1≤cosx≤0，…（13分）
∴當(dāng)cosx=-1，即x=π時(shí)，fmax（x）=3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的綜合運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．易錯(cuò)點(diǎn)是忽視角的取值范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（cosα，1），
b
=（-2，sinα），α∈(π，
3π
2
)，且
a
⊥
b

（1）求sinα的值；
（2）求tan(α+
π
4
)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（cos（-θ），sin（-θ）），
b
=(cos(
π
2
-θ)，sin(
π
2
-θ))．
（1）求證：
a
⊥
b
．
（2）若存在不等于0的實(shí)數(shù)k和t，使
x
=
a
+（t2+3）
b
，
y
=（-k
a
+t
b
），滿足
x
⊥
y
，試求此時(shí)
k+t2
t
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量
b
=（
3
，1），b=(
3
，1)，
a
∥
b
，則θ=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（sinβ，-cosβ），則|
a
+
b
|最大值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（cosθ，sinθ），向量
b
=（2
2
，-1），則|3
a
-
b
|的最大值是
 
．

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