Question

已知多面體ABCDFE中， 四邊形ABCD為矩形，AB∥EF，AF⊥BF，平面ABEF⊥平面ABCD， O、M分別為AB、FC的中點，且AB = 2，AD = EF = 1.

（Ⅰ）求證：AF⊥平面FBC；

（Ⅱ）求證：OM∥平面DAF；

（Ⅲ）設平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個錐體的體積分別為V_F-ABCD，V_F-CBE，求V_F-ABCD∶V_F-CBE 的值.

Answer 1

解：（Ⅰ）平面ABEF⊥平面ABCD  ，平面ABEF平面ABCD=AB

         BC平面ABCD，而四邊形ABCD為矩形 BC⊥AB ，

BC⊥平面ABEF

  AF平面ABEF BCAF    BFAF，BCBF=B

 AF⊥平面FBC                    

（Ⅱ）取FD中點N，連接MN、AN，則MN∥CD，且 MN=CD，又四邊形ABCD為矩形，

MN∥OA，且MN=OA   四邊形AOMN為平行四邊形，OM∥ON

又OM平面DAF，ON平面DAF   OM∥平面DAF      

（Ⅲ）過F作FGAB與G ，由題意可得：FG平面ABCD

V_F-ABCD =S_矩形ABCDE·FG = FG

  CF平面ABEF V_F-CBE  = V_C-BFE  =S_△BFE·CB = = FG

 V_F-ABCD∶V_F-CBE = 4∶1