Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+aln（x+1），其中a≠0
（1）若a=-4，求f（x）的極值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值即可．
（2）先求函數(shù)f（x）的定義域，再求導(dǎo)數(shù)f′（x），由于含參數(shù)a，分類(lèi)討論解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．

解答 解：（1）a=-4時(shí)，f（x）=x²-4ln（x+1），函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
f′（x）=2x-$\frac{4}{x+1}$=$\frac{2（x-1）（x+2）}{x+1}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
故f（x）在（-1，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故x=1時(shí)，f（x）取得極小值1-4ln2；
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
f′（x）=2x+$\frac{a}{x+1}$=$\frac{{2（x+\frac{1}{2}）}^{2}+a-\frac{1}{2}}{x+1}$，
①當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）=0有兩個(gè)解，x₁=$\frac{-1-\sqrt{1-2a}}{2}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1-2a}}{2}$，且x₁＜x₂，
若x₁＞-1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，-1＜x₁＜x₂，
此時(shí)f（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減；
若x₁≤-1，即a≤0時(shí)，x₁≤-1＜x₂，
此時(shí)f（x）在（-1，x₂）上單調(diào)遞減，在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)最值問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．