Question

【題目】如圖，四邊形是正方形， 平面， ， ， ， ， 分別為， ， 的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的大��；

（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與直線所成的角為？若存在，求出線段的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）見解析

【解析】試題分析： 建立平面直角坐標(biāo)系，由， ， 證得平面

建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩個(gè)平面的法向量所成的角與二面角相等或互補(bǔ)，由兩個(gè)平面法向量所成的角求解二面角的大�。�

⑶假設(shè)存在點(diǎn)，由共線向量基本定理得到點(diǎn)的坐標(biāo)，其中含有一個(gè)未知量，然后利用直線與直線所成角為轉(zhuǎn)化為兩向量所成的角為，由兩向量的夾角公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)符合題意，說明假設(shè)成立，最后得到結(jié)論。

解析：（1）∵平面， ，∴ 平面，

∴， ，又四邊形是正方形，

∴，故， ， 兩兩垂直，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，∵，

∴， ， ，

， ， ，

∵， ， 分別為， ， 的中點(diǎn)，

∴， ， ，

，平面的一個(gè)法向量為，

又∵，

∴，又∵平面，∴ 平面.

（2）， ，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，

則，即，取，得，

， ，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，

即，取得，

∴ ，

∴平面與平面所成銳二面角的大小為.

（3）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使直線與直線所成角為，

設(shè)，其中，由，則，

又∵， ，∴，

∵直線與直線所成角為， ，

∴，即，解得，

∴， ，

∴在線段上存在一點(diǎn)，使直線與直線所成角為，此時(shí).