Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1的等比數(shù)列，其公比q是方程2x²+3x+1=0的根．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）當(dāng)q≠-1時(shí)，設(shè)

1

bn

=log

1

2

|an+2|，若b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1≥λ對(duì)一切n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求出方程2x²+3x+1=0的兩個(gè)根，然后分別求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和S_n即可；
（II）先求出b_n的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)，利用裂項(xiàng)求和法求出b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1的和，欲使b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1≥λ對(duì)一切n∈N^*恒成立，則使λ≤[

n

2(n+2)

]min，n∈N^*．
法一易知

1

2

-

1

n+2

在n∈N^*上單調(diào)遞減，求出

1

2

-

1

n+2

的最小值即可求出λ的取值范圍，
法二令f(x)=

x

2(x+2)

，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的最小值即可求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閝是方程2x²+3x+1=0的根，可得q=-

1

2

或q=-1．
當(dāng)q=-

1

2

時(shí)，an=(-

1

2

)n-1，Sn=

1-(- 1 2 )n

1+ 1 2

=

2

3

[1-(-

1

2

)n]．
當(dāng)q=-1時(shí)，a_n=（-1）^n-1，Sn=

1   當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 0   當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

．
（Ⅱ）當(dāng)q≠-1時(shí)，an=(-

1

2

)n-1，
由

1

bn

=log

1

2

|an+2|=log

1

2

|(-

1

2

)n+1|=n+1，得bn=

1

n+1

．
∴bnbn+1=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．
因?yàn)閎₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1≥λ對(duì)一切n∈N^*恒成立，
所以λ≤[

n

2(n+2)

]min，n∈N^*．
法一：易知

1

2

-

1

n+2

在n∈N^*上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)n=1時(shí)，

1

2

-

1

n+2

取最小值

1

6

，所以λ≤

1

6

．
所以λ的取值范圍是(-∞，

1

6

]．
法二：令f(x)=

x

2(x+2)

，則f′(x)=

1

(x+2)2

＞0，
所以f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）的最小值為f(1)=

1

6

，即

n

2(n+2)

最小值為

1

6

，所以λ≤

1

6

．
所以λ的取值范圍是(-∞，

1

6

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)和求和，以及恒成立問(wèn)題和利用導(dǎo)數(shù)研究最值問(wèn)題，是一道綜合題，屬于中檔題．