Question

如圖，已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中線(xiàn)AF與中位線(xiàn)DE相交于點(diǎn)G，將此三角形沿DE折成二面角A₁-DE-B，設(shè)二面角A₁-DE-B的大小為θ，則當(dāng)異面直線(xiàn)A₁E與BD的夾角為60°時(shí)，cosθ的值為（ ）

A．-
B．
C．-
D．

Answer 1

【答案】分析：由△ABC為等邊三角形，AF為中線(xiàn)，知AF⊥BC．由DE為中位線(xiàn)，知BC∥DE，DE⊥AG，且DE⊥GF，故∠A₁GF是二面角A₁-DE-B的平面角，即∠A₁GF=θ．由正△ABC的邊長(zhǎng)為2，知AE=BD=1，，由異面直線(xiàn)A₁E與BD的夾角為60°，知∠A₁EF=60°，A₁F=1，由能求出cosθ的值．
解答：解：∵△ABC為等邊三角形，AF為中線(xiàn)
∴AF⊥BC
又∵DE為中位線(xiàn)，∴BC∥DE
∴AF⊥DE
即DE⊥AG，且DE⊥GF
∵沿著DE翻折
∴DE⊥A₁G
∵DE⊥AG，DE⊥GF，A₁G∩AG=G
∴DE⊥平面A₁GF
∴A₁G⊥DE，F(xiàn)G⊥DE，
∴∠A₁GF是二面角A₁-DE-B的平面角，
即∠A₁GF=θ．
∵正△ABC的邊長(zhǎng)為2，
∴AE=BD=1，，
連接EF，∵AE=EC=1，BF=FC=1，
∴EFBD，
∵異面直線(xiàn)A₁E與BD的夾角為60°，
∴∠A₁EF=60°，
∴△A₁EF是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，
∴A₁F=1，
∴
=
=．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的余弦值的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．