Question

19．已知偶函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（1+x）=f（1-x），當0≤x≤1時，f（x）=3^x-1；若關于x的方程$f（x）-{log_m}\frac{1}{x+2}=0$在x∈[0，5]上有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． $（0\;，\;\frac{{\sqrt{7}}}{7}）$
• B． $（\frac{{\sqrt{7}}}{7}\;，\;1）$
• C． $（\frac{{\sqrt{5}}}{5}\;，\;1）$
• D． $（\frac{{\sqrt{7}}}{7}\;，\;\frac{{\sqrt{5}}}{5}）$

Answer 1

分析 由已知的偶函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（1+x）=f（1-x），得到函數(shù)的對稱軸為x=1并且周期為2，在同一個坐標系中畫出f（x）以及y=$lo{g}_{m}\frac{1}{x+2}$的圖象，由在x∈[0，5]上有4個不相等的實數(shù)根得到函數(shù)圖象交點為4個的時候對應的m 的范圍．

解答 解：因為偶函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（1+x）=f（1-x），所以f（1+x）=f（x-1），得到函數(shù)的正確為2，且關于x=n，n∈N對稱，函數(shù)f（x）以及y=log${\;}_{m}\frac{1}{x+2}$=-log_m（x+2）的圖象如圖，要使關于x的方程$f（x）-{log_m}\frac{1}{x+2}=0$在x∈[0，5]上有4個不相等的實數(shù)根，只要$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜1}\\{-lo{g}_{m}（5+2）＞{3}^{5-4}-1}\\{-lo{g}_{m}（3+2）＜{3}^{3-2}-1}\end{array}\right.$
解得$\frac{\sqrt{7}}{7}＜m＜\frac{\sqrt{5}}{5}$；
即實數(shù)m的取值范圍是（$\frac{\sqrt{7}}{7}，\frac{\sqrt{5}}{5}$）；
故選：D．

點評 本題考查了利用函數(shù)圖象的交點求方程根的個數(shù)問題；正確畫圖并且識圖是關鍵．