Question

拋物線的方程為，過(guò)拋物線上一點(diǎn)()作斜率為的兩條直線分別交拋物線于兩點(diǎn)(三點(diǎn)互不相同)，且滿足（且）．

（1）求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）設(shè)直線上一點(diǎn)，滿足，證明線段的中點(diǎn)在軸上；

（3）當(dāng)=1時(shí)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求為鈍角時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；（2）證明詳見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）數(shù)形結(jié)合，依據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，分別聯(lián)立直線與拋物線的方程消去得到關(guān)于的一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到、，再由求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可證明；（3）為鈍角時(shí)，必有，用表示，通過(guò)的范圍求的范圍即可.

試題解析：（1）由拋物線的方程（）得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為

（2）證明：設(shè)直線的方程為，直線的方程為

點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組

的解將②式代入①式得，于是，故　③

又點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組

的解將⑤式代入④式得于是，故

由已知得，，則　�、�

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，則

將③式和⑥式代入上式得，即所以線段的中點(diǎn)在軸上

（3）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，拋物線方程為

由③式知，代入得

將代入⑥式得，代入得

因此，直線分別與拋物線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為

，于是，

因為鈍角且三點(diǎn)互不相同，故必有

求得的取值范圍是或又點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足，故

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即.

考點(diǎn)：1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)；2.二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；3.直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.