Question

已知函數(shù)m（x）=log₄（4^x+1），n（x）=kx（k∈R）．
（1）若F（x）為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=m（x），求當(dāng)x＜0時(shí)F（x）的表達(dá)式；
（2）已知f（x）=m（x）+n（x）為偶函數(shù)．
①求k的值；
②設(shè)g（x）=log₄（a•2^x-

4

3

a），若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用奇偶性求解運(yùn)算，得解析式．
（2）f（x）=m（x）+n（x）為偶函數(shù)．運(yùn)用定義恒成立求解．函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，方程log₄ (4x+1)-

1

2

x=log₄（a•2^x-

4

3

a）只有一個(gè)解，即log

4x+1 2x 4

=log

(a•2x- 4 3 a) 4

，方程等價(jià)于

a•2x- 4 3 a＞0 4x+1 2x =a•2x- 4 3 a

．設(shè) 2^x=t＞0，則（a-1）t²-

4

3

at-1=0有一正根，構(gòu)造函數(shù)，分類討論求解的出答案．

解答： 解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，∴F（-x）=m（-x）=log

4-x+1 4

，
∵F（x為R上的奇函數(shù)，∴F（-x）=-F（x），
∴F（x）=-log

(4-x+1) 4

（x＜0）
（2）①∵函數(shù)f（x）=log

(4x+1) 4

+kx是偶函數(shù)，
∴f（-x）=log

(4-x+1) 4

-kx=log（

1+4x

4x

）-kx
=log

(4x+1) 4

-（k+1）x=log₄（4^x+1）+kx=f（-x）（恒成立）．
∴-（k+1）=-k，則k=-

1

2

．                             
②∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴方程f（x）=g（x）只有一個(gè)解
即方程log₄ (4x+1)-

1

2

x=log（a•2^x-

4

3

a）只有一個(gè)解，
∴l(xiāng)og

4x+1 2x 4

=log

(a•2x- 4 3 a) 4

，
 方程等價(jià)于

a•2x- 4 3 a＞0 4x+1 2x =a•2x- 4 3 a

．                       
設(shè)t=2^x，t＞0，則（a-1）t²-

4

3

at-1=0有一正根，
（�。┤鬭-1＞0，設(shè)h（t）=（a-1）t²-

4

3

at-1，
∵h(yuǎn)（0）=-1＜0，∴恰好有一正根，∴a＞1滿足題意； 
（ⅱ）若a-1=0，則方程根為t=-

3

4

＜0，不滿足題意；   
（ⅲ）若a-1＜0，即a＜1時(shí)，由△=（-

4

3

a）²+4（a-1）=0，得a=-3或a=

3

4

，
當(dāng)a=-3時(shí)，方程有根t=

1

2

滿足題意，
當(dāng)a=

3

4

時(shí)，方程有根t=-2（舍去）．                    
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a＞1或a=-3}

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，奇偶性的性質(zhì)，運(yùn)算化簡(jiǎn)比較麻煩，需要的能力較多．